Une pierre précieuse

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une pierre précieuse est représentée ci-dessous en perspective parallèle :

• la « culasse » `\text{ABCDI}` est une pyramide à base carrée inscrite dans un cube dont `\text{I}` est le centre de la face inférieure ;
  
• la « couronne » `\text{ABCDEFGH}` est une pyramide tronquée inscrite dans le cube `\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1`. Le point `\text{J}` est le centre de la face supérieure de ce cube. Les points \(\text{E}\), \(\text{F}\), \(\text{G}\) et \(\text{H}\) sont respectivement les milieux des segments \(\text{[AJ]}\), \(\text{[BJ]}\), \(\text{[CJ]}\) et \(\text{[DJ]}\).

Le point `\text{O}` est le centre du carré `\text{ABCD}`.

Une représentation en perspective centrale est commencée dans le fichier de géométrie dynamique suivant. La ligne d’horizon `P` est tracée.
On convient de noter en minuscule l’image, en perspective centrale, des points de l’espace.
La face `\text{ABB}_1\text{A}_1` est frontale.
Cette représentation en perspective centrale est à compléter.
Aucune justification des tracés n’est demandée mais on laissera visibles les traits de construction.
Par la perspective centrale :

1. Tracer l’image du carré `\text{ABCD}` ainsi que son centre `\text{O}`.
2. Compléter l’image du cube `\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1`.
3. Construire la représentation `\text{abcdi}` de la « culasse ».
4. a. Le point `\text{E}`, milieu du segment `\text{[AJ]}`, est aussi le point d’intersection de la droite\(\text{ (AJ)}\) et de la droite\(\text{(KL)}\), où `\text{K}` désigne le milieu du segment `\text{[AA}_1\text{]}` et `\text{L}` celui du segment `\text{[CC}_1]`. Construire l’image \(\text{e}\) du point `\text{E}`.
    b. Finir la construction de l’image `\text{abcdefgh}` de la couronne.
6. Que peut-on dire les droites \(\text{(bd)}\) et \(\text{(fh)}\) ? Justifier.